数学知识补习

数理基础太差,被关了起来 Picture

矩阵

雅可比矩阵

将梯度记为沿各坐标轴偏导的一组坐标,可以表示成向量形式

奇异值分解(singular value decomposition)

方阵可以分解为 , 类似的矩阵也能分解

D为对角矩阵,对角线元素为矩阵 A 的奇异值。U、V都是正交矩阵,因此可以用SVD可以用于求解矩阵的伪逆:

为伪逆,伪逆通过对矩阵 D 的非零元素求倒数后求转 置生成

奇异值分解还能用来降维

距离计算

欧式距离

余弦距离

计算向量(矩阵)两两之间的相对距离,再除以绝对值

余弦相似度:

一点闲话

当年我高中的时候,还挺喜欢看matrix67的网站,喜欢些花里胡哨的东西,所谓“美感”。大一的时候还在寻找公式的数学意义和美感,没事跑到图书馆看数分和抽代(没怎么看懂),感觉matrix67那篇文章还有点道理。转折是大二学了模电等几门课,才恍然间发现秋水无涯那篇回应说得真好啊。

秋水无涯的那一篇一直静静的躺在我的浏览器收藏夹里,他的号后来被封了(秋水无涯的豆瓣号已经没了,豆列和读书主页已经不可见,点进去只能看到一些豆瓣笔记书评),我把文章附在下面。原地址:我们需要怎样的数学教育?

不同的人,学习数学的目的很不一样。数学的应用价值当然广泛,不过这个世界上也确实有不少韩寒:对他们来说,初二水平的数学就够用了。经常听到的论调是,数学是理性的最高表现形式,因而无论志在何种职业,都应该学一点数学,得到一点思维上的训练。我觉得这个观点似是而非。如果学习数学是为了训练理性思维,那么全民必修的该是一门逻辑课。数学理论当然是逻辑训练的好材料,然而,高深的数学理论并不带来更多逻辑上的挑战——代数几何和平面几何都只用到最基本的三段论而已;另一方面,数学训练的必要性也不等同于充分性。我的朋友中就颇有几个精于数理而迂于世情的——对数学之外的事情,他们比一般人更糊涂。我依然认为他们是芸芸众生中最“聪明”的,但这种“聪明”似乎不是大众学习数学的初衷。事实上,大众对这些“聪明人”采取敬而远之的态度。

很多人废寝忘食地背下了大量公式来应付数学考试,很快忘得一干二净之后又安慰自己说好歹算是训练了逻辑思维——这是毫无含金量的廉价安慰。对大部分人来说,初二水平的数学真的够用了。如果他们愿意学得更多,或者对数学史抱有考古的兴趣,那是个人自由。剥除有限的实用价值,精巧的理论反而是一种不必要的折磨。数学当然有独立于实用价值之外的美,但是强迫每个人都去欣赏,那是大规模犯罪。

不少人还是要用到高等数学的。这里需要澄清的是,所谓“高等数学”,实在是很初等的数学。对于工科学生来说,微积分和线性代数当然是必要的课程。物理系学的更多一些:微分方程,特殊函数,群论外加一些泛函分析。在理论物理的前沿,他们会遇到纤维丛,辛几何和共形场论。然而这仍然只是数学的一部分。我想除了数学家之外,不会有人对类域论感兴趣,更不要说Langlands纲领。这种冷漠是可以理解的。他们大可以理直气壮地问数学家,如果散在的有限单群不是26个而是62个,太阳难道会从西边升起来吗?不能排除这样的可能性,不过,必须承认,单群与星体运行之间的关系,即使存在,也远超出我们的想象力。

工科数学教育最显著的问题似乎是“形式化”。这大概是工具理性的一种表现:为了“短平快”地掌握所需的数学,工科学生学习数学的速度往往是数学系学生的数倍。所以他们几乎从来没有机会弄懂他们所学的究竟是些什么玩意。如果你让他们解释dx是什么,他们给出的回答与其说是数学,不如说是玄学。“以其昏昏使人昭昭”是不可能的,于是这在工科院系成了代代相传的顽疾。唯一的安慰是这不妨碍他们做微积分,做得比数学系的学生还要好。我对这个问题抱宽容的态度:毕竟,Newton也说不清dx是什么。在我看来,真正的症结在于除了公式和计算,工科数学教育所余无几。真正应该强调的是视觉化,讨论大量应用的实例,在实践当中掌握理论。证明是相对次要的事情:如果你对你在做什么有充分的感觉,知道各种事实是如何恰当地组织起来的,写出证明只是一种形式。反之,我不认为“记住”诸如行秩等于列秩的证明有什么用处——即使记住了也很快会忘记,更何况如果你动手解过几个线性方程组,就能“理解”这个显然的结论。

Matrix67同学力陈美感的重要性。然而在我看来,对以数学为志业的人来说,数学必然是“丑”的。这好比游客登山,只看到大道平坦,景致优美,而开荆辟棘的艰辛只有开山者自己能够体会。数学工作者说数学是“美”的,是流尽血汗后终于登顶看到绝美风景的震撼与欣然,这种美和欣赏数学之美的“美”很不一样。多数人以学习数学理论来求得一点审美的愉悦为苦,和真正的数学工作者相比,这不过是“十指不沾泥,鳞鳞居大厦”。另一些人把“数学之美”作为一种广告词。恕我直言,这些人本身大多只是“观光客”,物以类聚,所招徕到的也只能是一群“观光客”。

如何培养未来的数学工作者是一个很大的问题,我不够资格来谈。但至少有一点我是有把握的:应该少谈一点形而上的玩意,多锻炼真功夫。这并不是说要放弃整体的观点。恰恰相反,这意味着在“专”的基础上“博”:仅仅知道Riemann猜想是远远不够的,要知道它如何和整个数学相互作用,在整体图景中处在一个什么位置。那些仅仅将Riemann猜想作为谈资的人,我是不太佩服的。

Matrix67君指责高数课本“荒唐”。宽容一点,我们应该允许工科数学甚至文科“数学”有自己的逻辑和教学方式。严厉地说,则M君只能算是“登堂”,离真正“入室”尚有不小的距离。以他的观点来教育未来的数学工作者,我以为不妥当。

M君的文章,只适用于像他那样的“数学爱好者”。